Comportements dynamiques, conception de circuits et synchronisation d'un nouveau système chaotique symétrique avec des attracteurs coexistants

Rapports scientifiques volume 13, Numéro d'article : 1893 (2023) Citer cet article

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Dans cet article, nous introduisons un nouveau système chaotique tridimensionnel avec des caractéristiques étranges en appliquant la construction d'une méthode de circuit chaotique 3D. Des équilibres multiples et d'abondants attracteurs coexistants existent dans ce système. Un modèle mathématique est développé et des analyses de stabilité détaillées pour les points d'équilibre sont exécutées avec l'obtention de résultats significatifs des modèles de bifurcation à doublement de période confirmés par des tracés de plan de phase et des spectres d'exposants de Lyapunov. En faisant varier la valeur initiale et le paramètre contrôlé unique, l'attracteur chaotique à double défilement est décomposé en une paire d'attracteurs singuliers symétriques. Ensuite, les bassins d'attraction locaux sont étudiés concernant la condition initiale. Ensuite, les résultats de synthèse de circuit générés par l'outil de simulation Multisim valident les caractéristiques d'auto-excitation de ce système. Enfin, la technique d'asservissement est utilisée pour étudier la synchronisation différentielle de ce système. Les principales conclusions prouvent la validité et la fiabilité de la synchronisation des différences.

En 1963, le "chaos" a été découvert pour la première fois dans des expériences numériques sur la dynamique du temps1. Il s'agit d'un mouvement apparemment aléatoire, ce qui signifie que des comportements de type aléatoire se produisent sans addition de facteurs aléatoires, dans des systèmes non linéaires déterministes. En tant que branche de la science non linéaire, la théorie du chaos est largement appliquée dans le diagnostic médical2, l'économie3, le cryptage d'images4,5,6, le réseau neuronal7, la détection de signaux faibles8,9, la communication sécurisée10, etc. Caractéristiques chaotiques, dépendant grandement des conditions initiales et des paramètres du système , éclairent de nombreux phénomènes non linéaires compliqués intéressants. Étant donné que l'existence d'attracteurs de coexistence fournit une variété d'états stationnaires optionnels pour les systèmes, elle est progressivement devenue un point chaud de la recherche ces dernières années. Les attracteurs de coexistence indiquent que deux ou plusieurs attracteurs sont générés dans des paramètres et des conditions initiales différents11. Un exemple classique est que l'attracteur papillon du système de Lorenz est divisé en une paire d'attracteurs singuliers symétriques dans une région d'espace de paramètres jusqu'alors inexplorée12. Kengne et al. ont proposé un système Jerk tridimensionnel avec des termes non linéaires cubiques et ont constaté que la coexistence d'attracteurs est étroitement liée aux variations de paramètres13. Bao et al. ont construit un circuit chaotique memristor et observé la coexistence d'un nombre infini d'attracteurs14. Les singularités et les instabilités du chaos peuvent être décrites par des attracteurs cachés et des attracteurs auto-excités. Un auto-excité signifie que le bassin d'attraction est excité à partir d'équilibres instables15. L'autre est défini comme un attracteur avec de multiples points d'équilibre et des états d'équilibre stables, ou sans aucun équilibre16,17. Jusqu'à présent, les circuits électroniques non linéaires avec des comportements dynamiques complexes, tels que les oscillations chaotiques auto-excitées, les oscillations cachées et les comportements d'attracteurs multiples coexistants18 ont été explorés théoriquement et numériquement.

Avec les techniques Internet en plein essor, la sécurité de la transmission des informations revêt une grande importance pour le public. De nos jours, la synchronisation du chaos a été appliquée avec succès dans les communications sécurisées19,20. Sur la base de la proposition d'une méthode d'auto-synchronisation chaotique et de la réalisation de la synchronisation de deux systèmes chaotiques21, divers schémas de synchronisation du chaos ont été développés, tels que la synchronisation complète22, l'anti-synchronisation23, la synchronisation généralisée24, la synchronisation de phase et d'anti-phase25,26, la synchronisation projective27 , synchronisation de combinaison28,29, synchronisation combinaison–combinaison30 et synchronisation composée31. Premièrement, la référence 32 a introduit une méthode de synchronisation de différence, qui réalise la synchronisation entre deux systèmes de conduite et un système de réponse en utilisant la méthode de combinaison pondérée linéaire. La sélection flexible du facteur d'échelle rend la topologie géométrique du système couplé plus complexe et la prédiction du chemin vers le chaos plus difficile pour de meilleures performances de communication sécurisées. Afin de réaliser les schémas de synchronisation chaotique ci-dessus, un grand nombre de techniques de contrôle ont été développées, telles que le contrôle de rétroaction linéaire et non linéaire33, le contrôle en mode glissant34, le contrôle actif35, le contrôle adaptatif36 et le réseau de neurones37. Du et al. ont dérivé un critère pour la synchronisation en temps fini des réseaux de neurones basés sur des memristors d'ordre fractionnaire avec un retard dans le temps38. Wang et al. ont proposé une méthode de contrôle des synapses memristives pour la conception d'attracteurs chaotiques multi-structures et ont étudié le problème de synchronisation des réseaux de neurones memristifs via un contrôleur basé sur un observateur39,40.

Dans cette recherche, nous avons l'intention de proposer un système chaotique non linéaire tridimensionnel avec plusieurs états stables dont la stabilité et les points d'équilibre peuvent être facilement contrôlés. Contrairement aux seuls termes non linéaires quadratiques dans la plupart des systèmes existants, notre système rend les caractéristiques dynamiques plus complexes en ajoutant un terme non linéaire cubique. De plus, en introduisant des paramètres variables stables, nous résolvons la matrice jacobine et traçons les portraits des caractéristiques de l'état stable pour obtenir les détails du foyer instable, des nœuds stables et des points stables. De plus, nous utilisons un diagramme de bifurcation coïncidant avec un spectre des plus grands exposants de Lyapunov pour explorer les comportements de chaos et les attracteurs coexistants. Plus précisément, la contribution de cet article est principalement de quatre ordres : (1) Le système conçu est adaptable à un oscillateur auto-excité dans un système intégré ; (2) le circuit du système chaotique est conçu et simulé par le logiciel Multisim, qui peut vérifier efficacement les résultats de la simulation numérique ; (3) le contrôle de rétroaction linéaire convient aux systèmes chaotiques à non-linéarité cubique, utilisés dans la synchronisation des différences ; (4) basés sur des schémas de synchronisation, nos résultats sont pratiques en communication sécurisée.

En 2013, une série de systèmes chaotiques tridimensionnels avec des non-linéarités quadratiques a été proposée par Jafari et Sprott41, où les modèles mathématiques du système Sprott A et du système NE8 peuvent être exprimés en suivant des équations différentielles autonomes. (1) et (2)

Système Sprott A :

Système NE8 :

où \({x}_{1}\), \({y}_{1}\), \({z}_{1}\) et \({x}_{2}\), \ ({y}_{2}\), \({z}_{2}\) sont des variables d'état, \(a\mathrm{ et }b\) sont des paramètres constants.

Remarquablement, la stabilité multiple existe dans les systèmes ci-dessus sans équilibre, indiquant l'existence d'attracteurs coexistants42. Intuitivement, la figure 1 montre les attracteurs chaotiques des systèmes avec les paramètres a = 1 et b = 1,47. Ensuite, un nouveau système chaotique 3D est construit à partir du système Sprott A en ajoutant un terme non linéaire cubique. Par conséquent, le modèle mathématique correspondant de ce système est formulé comme

où \(x\), \(y\), \(z\) sont des variables d'état et \(v\) est un paramètre constant.

Attracteurs chaotiques des systèmes (1) et (2) avec (a) paramètre a = 1 et condition initiale (− 0,1, − 1, 0,3). (b) Paramètre b = 1,47 et condition initiale (0, 0,1, 0).

Lorsque le paramètre \(v\) désigne une variable ajustable, il est facile de déduire les points d'équilibre du système (3) en résolvant \(\dot{x}=0\), \(\dot{y}=0\), \(\point{z}=0\) :

Les points d'équilibre peuvent être exprimés par \(S=(\widehat{x},\widehat{y},\widehat{z})\), où

De l'éq. (4), il est trivial d'établir que \(\widehat{y}\) et \(\widehat{z}\) sont soumis à la variable d'état \(\widehat{x}\) et au paramètre \(v\ ). Ainsi, \(S\) change avec le paramètre \(v\). En linéarisant (3) autour du point d'équilibre, la matrice jacobine peut être exprimée comme suit :

L'équation caractéristique peut être dérivée comme

où \(\lambda\) est les valeurs propres de l'équation. (6) et

Le paramètre constant \(v\) change dans la plage de [\(-\) c, c] avec l'évolution temporelle, ainsi nous pouvons obtenir les valeurs de \(\widehat{x}\), plus \(\widehat {y}\) et \(\widehat{z}\). Pour explorer les points exacts et la stabilité du point d'équilibre, nous définissons la limite du paramètre A comme [− 2, 2], puis les résultats sont représentés intuitivement sur la figure 2.

Points d'équilibre simulés numériquement et analyse de stabilité avec \(\nu \in [-\,\mathrm{2,2}]\).

Afin d'éviter de résoudre la solution numérique des valeurs propres de la matrice de Jacobi, la stabilité du point d'équilibre est décrite par la trajectoire du diagramme de phase, en raison de l'existence de termes non linéaires quadratiques et cubiques. Selon le critère de Routh-Hurwitz, la stabilité des points d'équilibre peut être estimée en résolvant l'équation. (6). Dans ce système chaotique, les points d'équilibre sont classés en deux types : foyer de selle instable et nœud stable. Les valeurs propres réelles négatives ou les valeurs propres complexes à parties réelles négatives sont des nœuds stables. Au contraire, ces valeurs propres réelles positives ou valeurs propres complexes avec des parties réelles positives sont des nœuds instables. Ces valeurs propres sont des nœuds de selle si les racines sont des valeurs propres réelles de signes différents.

À partir de la figure 2, on peut observer que le lieu des points d'équilibre change avec le paramètre \(v\) dans la plage de \([-\,2, 2]\) au fil du temps. La ligne rouge indique le foyer de selle instable et la ligne bleue indique les nœuds stables. Les trois diagrammes étiquetés (a), (b) et (c) sur la figure 2 représentent les valeurs des trois dimensions des points d'équilibre.

En modifiant les conditions initiales et les paramètres de réglage, les trajectoires de phase et les comportements dynamiques sont étudiés qualitativement. Diagrammes de bifurcation versus \(v\in [0.14, 0.32]\) à partir des conditions initiales \({x}_{01}=\left(0.1, 2, 0.1\right), {x}_{02}=(- \,0.1,-\,2, 0.1)\) sont représentés sur les Fig. 3a,b, prouvant l'existence d'attracteurs chaotiques de différentes trajectoires, des cycles limites de différentes périodes, une bifurcation à doublement de période et une bifurcation de coexistence dans le système . Différent des systèmes de la plupart des articles, le système développé dans cet article est une bifurcation à doublement de période d'états périodiques et quasi-périodiques. Selon la Fig. 3b, en définissant les paramètres \({\nu }_{1}=0,147\) et \({\nu }_{2}=0,156,\) respectivement, les attracteurs correspondants sont illustrés à la Fig. 4, où les exposants de Lyapunov calculés par l'algorithme (A. Wolf, JB Swift) sont \({\lambda }_{11}=0,0153,{\lambda }_{12}=- \,0,0159,{\lambda } _{13}=-\, 2,1108\) et \({\lambda }_{21}=0,0040,{\lambda }_{22}=-\, 0,2545,{\lambda }_{23}=-\ , 1.7009\), indiquant que le système est dans des états quasi-périodiques et périodiques, respectivement. Dans diverses conditions, le système subit une bifurcation de Hopf et entre dans un état d'oscillation continue, puis tombe dans le chaos par une bifurcation à doublement de période. Un comportement oscillant normal apparaît ou disparaît soudainement, conduisant à l'émergence d'attracteurs coexistants, reflétant la complexité des caractéristiques non linéaires du système.

Pour les valeurs initiales (0,1, 2, 0,1) et (− 0,1, − 2, 0,1), le diagramme de bifurcation et le spectre de Lyapunov du système (3) lorsque \(v\) varie.

Pour les valeurs initiales (− 0,1, − 2, 0,1), les diagrammes de phase du système (3) dans le plan x–y : (a) état quasi-périodique avec \({\nu }_{1}=0,147\) . (b) État de période avec \({\nu }_{1}=0.156\).

Le plus grand exposant de Lyapunov est un indice quantitatif important pour mesurer les caractéristiques dynamiques. Il représente le taux exponentiel moyen de convergence ou de divergence d'un système entre des orbites adjacentes dans l'espace des phases. Un seuil critique de l'état du système peut être obtenu indirectement à partir d'un état conjoint des plus grands exposants de Lyapunov du système. Lorsque \(v\) varie de 0,14 à 0,32, le spectre d'exposant de Lyapunov à paramètre unique est dessiné sur la figure 3c. Nous pouvons voir que le point marqueur indique l'état périodique du système résultant du signe de trois exposants de Lyapunov est \((0,-,-)\). Il convient de noter que le diagramme de bifurcation coïncide avec le spectre des plus grands exposants de Lyapunov. En particulier, l'algorithme utilisé dans ce travail pour déterminer les plus grands exposants de Lyapunov a été proposé dans (A. Wolf, JB Swift).

Les attracteurs coexistants fournissent plusieurs états stationnaires facultatifs pour que le système réponde à différentes exigences. Pour le paramètre \(v=0,21\) et la condition initiale (0,1, 2, 0,1), l'attracteur chaotique à double défilement est représenté sur la figure 5. Les exposants de Lyapunov du système sont \({\lambda }_{1} =0,0864,{\lambda }_{2}=-0,0037,{\lambda }_{3}=-\,1,3122\). On peut en déduire que la somme des LE est négative :

qui montre la dissipation du système. La dimension correspondante de l'exposant de Lyapunov est

où la variable \(j\) satisfait \({\sum }_{i=1}^{j}{\lambda }_{i}>0\) et \({\sum }_{i=1}^ {j+1}{\lambda}_{i}<0\). L'attracteur étrange symétrique peut être observé car la dimension de l'exposant de Lyapunov est une dissipation fractionnaire et système.

Attracteurs chaotiques du système (3) de paramètre \(\nu =0.21\) et condition initiale (0.1, 2, 0.1).

Modifiez le paramètre \ (v = 0,26 \), puis deux attracteurs indépendants sont produits dans le système (3) avec des valeurs initiales (± 0,1, ± 2, 0,1), comme indiqué sur la Fig. 6. La ligne rouge indique l'attracteur avec condition initiale \({x}_{01}=\left(0.1, 2, 0.1\right)\) et la ligne bleue indique l'attracteur avec la condition initiale \({x}_{02}=(-\,0.1 , -\,2, 0.1)\). On peut vérifier que les attracteurs sont chaotiques car ils ont le même exposant de Lyapunov maximal positif \({\lambda }_{1}=0,0758\) et la dimension fractale de Lyapunov \({D}_{\lambda }=2,078\) . En conséquence, l'attracteur chaotique à double défilement de la figure 5 est divisé en deux attracteurs singuliers. Il est facile de vérifier que les deux attracteurs étranges ont une symétrie de rotation autour de l'axe z.

Une paire d'attracteurs singuliers de symétrie du système (3) de paramètre \(\nu =0.26\) et de condition initiale (\(\pm\) 0.1, \(\pm\) 2, 0.1).

La bifurcation à doublement de période et la bifurcation de coexistence peuvent être illustrées visuellement en générant les portraits de phase du système (3) avec des conditions initiales (± 0,1, ± 2, 0,1). Comme le montre la figure 7, le système (3) exécute la période-1, la période-2 et le chaos respectivement pour \(v=0,1, 0,15, 0,3\), ce qui implique que le processus de chaos produit par la bifurcation à doublement de période s'accompagne par bifurcation de coexistence.

Les portraits de phase des attracteurs symétriques coexistants dans le plan x–y avec des conditions initiales (± 0,1, ± 2, 0,1) : (a) \(\nu =0,1\). (b) \(\nu =0,15\). (c) \(\nu =0.3\).

Pour les attracteurs symétriques coexistants illustrés sur la figure 7c, les bassins d'attracteurs correspondants trois plans différents sont représentés sur la figure 8, où la région violette correspond à une paire d'attracteurs étranges symétriques, et la région noire représente la condition initiale pour générer des orbites illimitées . Le bassin a prévu une symétrie de rotation sur l'axe z et une structure fractale complexe.

Les bassins d'attraction locaux dans trois plans différents. (a) Le plan \(x\left(0\right)-y\left(0\right)\) avec \(z\left(0\right)=0.1\). (b) Le plan \(x\left(0\right)-z\left(0\right)\) avec \(y\left(0\right)=2\). (c) Le plan \(y\left(0\right)-z\left(0\right)\) avec \(x\left(0\right)=0.1\).

La condition initiale peut être considérée comme une mesure invariante pour la classification du comportement dynamique. Pour les systèmes chaotiques, de légères différences entre les conditions initiales peuvent entraîner de grandes différences dans les solutions au fil du temps. Si les comportements bornés sont trouvés, les comportements dynamiques de dopage chaotique, de repos stable et de dopage périodique sont ensuite classés en mesurant les tailles des attracteurs. Selon les bassins d'attraction locaux, on distingue évidemment la stabilité des comportements dynamiques conditionnels initiaux. Les conditions initiales sont considérées comme \((x\left(0\right), y\left(0\right), 0.1)\), \((x\left(0\right), 2, z(0) )\) et \((0.1, y\left(0\right), z(0))\) tandis que le paramètre est conservé comme \(\nu =0.3\). La figure 8 représente le bassin d'attraction dans \(x\left(0\right)-\mathrm{y}(0)\), \(x\left(0\right)-z(0)\) et \( y\left(0\right)-z(0)\), respectivement. La figure 8a montre que deux lignes rouges sont parallèles aux axes x et y. Et l'intersection de deux droites qui indique l'état initial \((0.1, 2, 0.1)\) se situe dans les régions noires tandis que le paramètre du système \(v=0.3\). La condition initiale \((0.1, 2, 0.1)\) démontre que le comportement initial-dépendant du système s'est comporté comme un chaos instable. On peut donc déduire de ce phénomène que les comportements dynamiques à long terme sont associés à des conditions initiales. Et cela conduit à l'émergence d'une bi-stabilité ainsi qu'à un chaos instable et à des points stables. Selon la figure 8b, le bassin d'attraction local change sur une orbite circulaire, qui n'est pas continue mais discrète, indiquant que l'oscillateur chaotique passe d'un état oscillant à un autre état. Ceci est similaire à la transition de niveau d'énergie en physique. Un tel bassin d'attraction est rare dans les systèmes chaotiques proposés. Le bassin d'attraction de la figure 8c change en une orbite de bande discrète, montrant des caractéristiques d'oscillation plus abondantes, de sorte qu'il peut améliorer la sécurité de la communication synchrone. Notamment, les attracteurs du système proposé sont auto-excités plutôt que cachés car leurs bassins d'attraction comprennent de multiples champs d'équilibre instables.

En plus de la coexistence d'attracteurs symétriques, lorsque \(v=0,3, 0,32\) avec les valeurs initiales (0,1, 2, 0,1) et (0,1, 0, 0,1), deux types de diagrammes de phase d'attracteurs à coexistence asymétrique et les diagrammes de phase correspondants les séries temporelles de la variable \(x\) sont représentées sur la Fig. 9. La coexistence d'attracteurs chaotiques et de cycles limites et la coexistence quasi-périodique peuvent également être observées sur les Fig. 9a, b respectivement. Les séries temporelles de la variable \(x\) correspondant à la Fig. 9a sont illustrées sur les Fig. 9c,d. De même, la relation de la figure 9b, e, f est la même que la précédente. D'après les figures 9d, f, un effet transitoire est produit lorsque l'oscillation démarre et la stabilité est atteinte après un certain temps.

Deux types d'attracteurs asymétriques coexistants et de séries temporelles de la variable \(x\) ont émergé des valeurs initiales (0,1, 2, 0,1) et (0,1, 0, 0,1).

Pour étudier la dynamique et confirmer la faisabilité d'un modèle chaotique théorique, la mise en œuvre en circuit de leurs modèles mathématiques correspondants43,44 est couramment utilisée. Il est pratique d'utiliser des circuits électroniques émulant des systèmes chaotiques en raison de leur application étendue en ingénierie. Par conséquent, le circuit électronique du nouveau système chaotique (3) est conçu et vérifié dans cette section.

De nombreuses études45 ont souligné que les opérateurs d'ordre fractionnaire ne peuvent pas être réalisés directement sous la définition standard de l'intégrale différente d'ordre fractionnaire dans les simulations temporelles. Si le circuit est conçu directement selon les équations du système, le circuit ne fonctionnera pas normalement. En appliquant l'approche de l'amplificateur opérationnel46, l'état des variables du système (3) doit être réduit pour réaliser des attracteurs étranges. Selon le système Eq. (3), les variables d'échelle \(X\), \(Y\), \(Z\) sont définies comme \(X=x/2\), \(Y=y/2\), \(Z= z/4\), respectivement. Où \(x\), \(y\) et \(z\) sont les variables d'état dans le système Eq. (3). Le système peut être mis en œuvre en utilisant des composants électroniques communs qui sont des résistances, des condensateurs, des multiplicateurs analogiques et des amplificateurs opérationnels.

En appliquant les lois de Kirchhoff au circuit électronique, l'ensemble d'équations d'état de circuit correspondant du nouveau système chaotique proposé peut être exprimé comme

où \({v}_{c1}\), \({v}_{c2}\) et \({v}_{c3}\) sont les tensions aux bornes des condensateurs \({C}_{ 1}\), \({C}_{2}\), \({C}_{3}\), respectivement. Et \({V}_{\alpha }\) est une source de tension continue stable pour implémenter la constante dans un système numérique (3). Notamment, le seul paramètre \(v\) dans (3) peut être défini en réglant manuellement la résistance \({R}_{8}\). On peut en déduire que trois variables d'échelle \(X\), \(Y\) et \(Z\) représentent respectivement la tension aux bornes des condensateurs correspondants. Le circuit complet est mis en œuvre sur la plate-forme de simulation électronique Multisim, où la figure 10 décrit le circuit conçu mis en œuvre par la simulation Multisim. Pour réaliser un système chaotique non linéaire, l'ensemble du circuit contient trois condensateurs, onze résistances, six multiplicateurs et quatre amplificateurs opérationnels. On peut remarquer que trois multiplicateurs sont configurés en 1/10, les deux autres sont configurés en -1/10 et le dernier est 1/1. Les valeurs de tous les composants électroniques de la Fig. 10 sont déterminées comme suit : \({R}_{1}={R}_{3}={R}_{7}=\) 40 \(\mathrm{k \Oméga }\), \({R}_{2}=\) 2 \(\mathrm{k\Oméga }\), \({R}_{4}=\) 80 \(\mathrm{k \Omega }\), \({R}_{5}={R}_{6}=\) 8 \(\mathrm{k\Omega }\),\({R}_{8}=\ ) 13.33 \(\mathrm{k\Omega }\), \({R}_{9}=\) 50 \(\mathrm{k\Omega }\), \({C}_{1}={ C}_{2}={C}_{3}=\) 2,2 \(\mathrm{nF}\), et \({V}_{\alpha }=\) 1 V, où \({R }_{8}\) est une résistance variable et sa valeur de résistance doit être ajustée pour atteindre différents états. D'autres paramètres de résistance et de capacité dans le circuit chaotique ne sont pas uniques. Le circuit représenté sur la figure 10 n'est qu'une implémentation de l'oscillateur, qui dépend de différents scénarios d'application. Par exemple, dans la disposition du circuit imprimé, il est nécessaire d'ajuster la position et les paramètres de capacité appropriés pour réduire l'influence de la capacité parasite sur l'ensemble du circuit.

Mise en œuvre du système chaotique de circuit.

Les résultats de la simulation, qui sont des portraits de phase dans le plan x-y du système, sont illustrés à la Fig. 11 en connectant les canaux de \({v}_{c1}\) et \({v}_{c2} \) dans le circuit vers l'oscilloscope. Lorsque la résistance est ajustée à \({R}_{8}=\) 40 \(\mathrm{k\Omega }\), les portraits de phase du cycle limite sont illustrés à la Fig. 11a,d avec le paramètre correspondant v = 0,1. La figure 11b,e représente les attracteurs de période 2 en fixant la résistance \({R}_{8}=\) 26,67 \(\mathrm{k\Omega }\) avec le paramètre correspondant v = 0,15. De même, alors que la valeur de \({R}_{8}\) est définie comme \({R}_{8}=\) 13.33 \(\mathrm{k\Omega }\) pour le paramètre correspondant \( \nu\) = 0,3, les portraits de phase des attracteurs chaotiques sont démontrés sur les figures 11c, f. Évidemment, les résultats de simulation de l'état du circuit Eq. (16) illustrées sur la Fig. 11 sont similaires aux trajectoires de phase numériques théoriques représentées sur la Fig. 7.

Les attracteurs coexistants symétriques obtenus à partir du circuit conçu avec les canaux de \({v}_{c1}\) et \({v}_{c2}\).

Le schéma de synchronisation différentielle se compose de deux systèmes maîtres et d'un système esclave, où les systèmes maîtres sont définis comme

et le système esclavagiste est considéré comme

où \(x={[{x}_{1}\left(t\right),{x}_{2}\left(t\right),{\dots ,x}_{n}(t) ]}^{T}\), \(y={[{y}_{1}\left(t\right),{y}_{2}\left(t\right),{\dots ,y }_{n}(t)]}^{T}\), \(z={[{z}_{1}\left(t\right),{z}_{2}\left(t\ à droite),{\dots ,z}_{n}(t)]}^{T}\) sont les vecteurs d'état des systèmes maîtres et du système esclave, \(F(x),G(y),H(z) :\) R \(\to R\) sont les fonctions vectorielles continues et \(U\left(x,y,z\right):R\times R\times R\to R\) est un contrôleur qui va être conçu à l'aide de la technique de contrôle par rétroaction.

Les systèmes maître et esclave sont dits synchronisés par différence, s'il existe trois matrices constantes \({M}_{1},{M}_{2},{M}_{3}\in R\) satisfaisant \(\underset{t\to \infty }{\mathrm{lim}}\Vert {M}_{3}z-({M}_{2}y-{M}_{1}x)\ Vert =0\) où \({M}_{3}\ne 0\) et \(\Vert \cdot \Vert\) représentent la norme de la matrice.

Cas 1 Si matrices constantes \({M}_{3}\ne 0\), \({M}_{2}\ne 0\), et \({M}_{1}=0\), la synchronisation différentielle dégénère en mode synchronisé complet.

Cas 2 Si matrices constantes \({M}_{3}\ne 0\), \({M}_{2}=0\), et \({M}_{1}\ne 0\), la synchronisation différentielle dégénère en mode anti-synchronisé.

Selon le principe de stabilité de Lyapunov, la méthode de linéarisation est utilisée pour déterminer la stabilité du système (3). On convertit l'éq. (3) à

où \(X={(x,y,z)}^{\tau }\). D'après le théorème de développement de Taylor pour obtenir

L'équation caractéristique de la matrice de coefficients A peut être dérivée comme suit :

où \(\lambda\) est les valeurs propres de l'équation. (16).

Les valeurs propres de la matrice de coefficients A sont \({\lambda }_{1}=0\), \({\lambda }_{\mathrm{2,3}}=(1\pm \sqrt{15}i) /4\). Le système est instable à cause de la partie réelle positive des valeurs propres \({\lambda }_{\mathrm{2,3}}\).

Pour formuler la méthode de synchronisation différentielle, les systèmes (1) et (2) sont considérés comme deux systèmes maîtres, et le système esclave avec fonctions de contrôle est spécifié par

où \({u}_{1}(t)\), \({u}_{2}(t)\) et \({u}_{3}(t)\) sont les contrôleurs nécessaires pour être conçu. Soit les matrices \({M}_{3}=diag({m}_{31},{m}_{32},{m}_{33})\), \({M}_{2 }=diag\left({m}_{21},{m}_{22},{m}_{23}\right)\) et \({M}_{1}=diag({m} _{11},{m}_{12},{m}_{13})\), alors les fonctions d'erreur peuvent être définies comme suit :

En dérivant les fonctions d'erreur (18), nous pouvons déduire les systèmes d'erreur

Les fonctions de contrôle sont acquises en simplifiant le terme linéaire du système d'erreur et en ajoutant des contrôleurs à rétroaction linéaire :

En mettant les fonctions de contrôle dans le système d'erreur, le système d'erreur est réduit à

La matrice jacobienne du système d'erreur linéaire (18) est

Suivant les critères de Routh – Hurwitz, le système d'erreur est stabilisé si les valeurs propres de la matrice jacobienne sont négatives, de sorte que trois systèmes couplés chaotiques considérés réaliseraient une synchronisation différentielle. Par calcul, les valeurs propres de la matrice jacobienne (22) sont \({\lambda }_{1}={k}_{3}\), \({\lambda }_{2}=({k}_{ 1}+{k}_{2}+\sqrt{{\left({k}_{1}-{k}_{2}\right)}^{2}-4})/2\), \({\lambda}_{3}=({k}_{1}+{k}_{2}-\sqrt{{\left({k}_{1}-{k}_{2} \right)}^{2}-4})/2\), où \({k}_{1}\), \({k}_{2}\),\({k}_{3 }\) sont des facteurs de rétroaction.

Si les facteurs de rétroaction satisfont

la synchronisation des différences entre les systèmes chaotiques (1), (2) et (17) sera réalisée.

Pour vérifier l'efficacité de la synchronisation des différences, la méthode Runge-Kutta du quatrième ordre est utilisée pour résoudre les équations en simulation numérique. Considérant que les paramètres du système maître Sprott A et du système esclave NE8 sont pris comme a = 1 et b = 1,47, les conditions initiales sont définies comme (0, 0,1, 0) et (− 0,1, − 1, 0,3), respectivement . Pour la condition initiale (0.1, 2, 0.1), le paramètre du système proposé est considéré comme \(\nu =0.3\). Ainsi, à la fois les systèmes maîtres et le système esclave sont chaotiques dans cette situation selon l'analyse ci-dessus. En l'absence du contrôleur défini par l'Eq. (20), la trajectoire d'état du système maître-esclave présente un état dramatiquement chaotique. Application du contrôleur à t = 20, sélection du coefficient de rétroaction comme \({k}_{1}={k}_{2}=- \, 4, {k}_{3}=- \, 1\) , les systèmes maîtres et le système salve sont synchronisés par différence en peu de temps à l'aide de la technologie de contrôle de rétroaction. Les figures 12a à c montrent la trajectoire d'état du système maître-esclave avant et après le contrôle.

Trajectoires d'état de synchronisation des différences entre (a) \({m}_{21}{x}_{2}-{m}_{11}{x}_{1}\) et \({m}_{ 31}{x}_{3}\), (b) \({m}_{22}{y}_{2}-{m}_{12}{y}_{1}\) et \ ({m}_{32}{y}_{3}\), (c) \({m}_{23}{z}_{2}-{m}_{13}{z}_{ 1}\) et \({m}_{33}{z}_{3}\).

La courbe d'erreur de la figure 13a converge vers zéro en peu de temps, prédisant que le système couplé est synchronisé de manière différentielle. Comme le montre la figure 13b, lors de l'activation de la commande à t = 0, le temps de synchronisation des systèmes sera considérablement raccourci, indiquant que le temps de synchronisation est affecté par les conditions initiales. Le coefficient de commande de rétroaction des fonctions d'erreur représentées sur la figure 13c est ajusté à \({k}_{1}={k}_{2}={k}_{3}=-1\). Il est évident que le temps de synchronisation des systèmes est considérablement augmenté afin qu'il puisse s'adapter à des scénarios d'ingénierie plus pratiques.

Les trajectoires d'erreur fonctionnent avec le contrôleur activé à (a) t = 20 et \({k}_{1}={k}_{2}=-4, {k}_{3}=-1\) . (b) t = 0 et \({k}_{1}={k}_{2}=-4, {k}_{3}=-1\). (c) t = 0 et \({k}_{1}={k}_{2}={k}_{3}=-1\).

Dans cet article, un nouveau système chaotique symétrique tridimensionnel avec plusieurs points d'équilibre a été développé. Le système développé est une sorte de système chaotique avec des attracteurs coexistants. Les comportements dynamiques, y compris les attracteurs étranges, les caractéristiques symétriques, le diagramme de bifurcation, les exposants maximaux de Lyapunov et les bassins locaux d'attraction et les comportements de bi-stabilité ont été discutés. Et nous avons donné une voie claire pour étudier les comportements du chaos par analyse numérique et obtenir des détails sur les comportements du système chaotique. Pour confirmer davantage la faisabilité du système théorique, un circuit électronique émulant ce système chaotique a été mis en œuvre en utilisant la plate-forme de simulation électronique Multisim. Tous les résultats présentés par le circuit électronique sont étroitement cohérents avec ceux de la simulation numérique. De plus, la méthode de contrôle de rétroaction est utilisée pour réaliser la synchronisation de différence entre deux systèmes maîtres Sprott A et le système NE8 avec des structures différentes. Cela indique que le système proposé dans ce travail peut être pratique pour les applications d'ingénierie basées sur le chaos telles que la conception d'oscillateurs auto-excités et la communication sécurisée dans les recherches futures.

Les données à l'appui des conclusions de cette étude sont disponibles auprès de l'auteur correspondant sur demande raisonnable.

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Les travaux sont financés par la National Natural Science Foundation of China (Grant No. 61927803, 61071025, 61502538 and 61501525) et la Natural Science Foundation of Hunan Province of China (Grant No. 2015JJ3157).

École de physique et d'électronique, Central South University, Changsha, 410083, Chine

Haitao Qiu, Xuemei Xu, Kehui Sun et Can Cao

École d'automatisation, Central South University, Changsha, 410083, Chine

Zhaohui Jiang

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HQ et XX ont conçu les méthodes, HQ a contribué à la conception, à la simulation, à l'analyse des résultats et à la rédaction du manuscrit, XX, ZJ, KS et CC ont contribué à la révision critique et à l'approbation de la version finale du manuscrit.

Correspondance à Xuemei Xu.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Réimpressions et autorisations

Qiu, H., Xu, X., Jiang, Z. et al. Comportements dynamiques, conception de circuits et synchronisation d'un nouveau système chaotique symétrique avec des attracteurs coexistants. Sci Rep 13, 1893 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-28509-z

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Reçu : 15 septembre 2022

Accepté : 19 janvier 2023

Publié: 02 février 2023

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-023-28509-z

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